题目内容
17．已知正项等比数列{an}，满足a5+a4-a3-a2=9，则a6+a7的最小值为（ ）| A． | 9 | B． | 18 | C． | 27 | D． | 36 |
分析 可判数列{an+an+1}也是各项均为正的等比数列，则a2+a3，a4+a5，a6+a7构成等比数列．设其公比为x，a2+a3=a，则x∈（1，+∞），a4+a5=ax，结合已知可得a=$\frac{9}{x-1}$，代入可得y=a6+a7的表达式，x∈（1，+∞），由导数求函数的最值即可．
解答 解：∵数列{an}是各项均为正的等比数列，
∴数列{an+an+1}也是各项均为正的等比数列，
则a2+a3，a4+a5，a6+a7构成等比数列．
设其公比为x，a2+a3=a，
则x∈（1，+∞），a5+a4=ax，
∴有a5+a4-a3-a2=ax-a=9，即a=$\frac{9}{x-1}$，
∴y=a6+a7=ax2=$\frac{9{x}^{2}}{x-1}$，x∈（1，+∞），
求导数可得y′=$\frac{18x（x-1）-9{x}^{2}}{（x-1）^{2}}=\frac{9x（x-2）}{（x-1）^{2}}$，令y′＞0可得x＞2，
故函数在（1，2）单调递减，（2，+∞）单调递增，
∴当x=2时，y=a6+a7取最小值：36．
故选：D．
点评 本题考查等比数列的性质，涉及导数的应用，考查分析问题解决问题的能力，属中档题．
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