Question

2．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₇=49，a₄和a₈的等差中项为11．
（I）求a_n及S_n；
（Ⅱ）证明：当n≥2时，有$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+…+\frac{1}{S_n}＜2$．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
（II）n≥2时，$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，即可得出．

解答 （I）解：设等差数列{a_n}公差为d，∵S₇=49，a₄和a₈的等差中项为11．
∴7a₁+$\frac{7×6}{2}$d=49，2×11=a₄+a₈=2a₁+10d，
联立解得a₁=1，d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，S_n=n+$\frac{n（n-1）}{2}$×2=n²．
（II）证明：n≥2时，$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，
∴当n≥2时，$\frac{1}{{S}_{1}}+\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$=2-$\frac{1}{n}$＜2．
∴$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+…+\frac{1}{S_n}＜2$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、不等式的性质、放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．