Question

6．某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[50，60），第二组[60，70），…，第五组[90，100]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（Ⅰ）由频率分布直方图估计50名学生数学成绩的中位数和平均数；
（Ⅱ）从测试成绩在[50，60）∪[90，100]内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m，n，求事件“|m-n|＞10”概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由直方图知，成绩在[50，80）内的频率为0.62，从而中位数在[70，80）内，设中位数为x，由频率分布直方图列出方程，能求出中位数，利用频率分布直方图的性质能求出平均数．
（Ⅱ）由直方图知，成绩在[50，60）内的人数为2人，设成绩为x，y，成绩在[90，100]的人数为3人，设成绩为a、b、c，由此列举法能求出事件“|m-n|＞10”所包含的基本事件个数．

解答 解：（Ⅰ）由直方图知，成绩在[50，80）内的频率（0.004+0.018+0.04）×10=0.62，
所以中位数在[70，80）内，
设中位数为x，则（0.004+0.018）×10+0.04×（x-70）=0.5，解得x=77，所以中位数是77，
设平均数为$\overline x$，则$\overline x=55×0.04+65×0.18+75×0.4+85×0.32+95×0.06=76.8$．
（Ⅱ）由直方图知，成绩在[50，60）内的人数为：50×10×0.004=2，设成绩为x，y，
成绩在[90，100]的人数为50×10×0.006=3，设成绩为a、b、c，若m，n∈[50，60）时，
只有xy一种情况，若m，n∈[90，100]时，有ab，bc，ac三种情况，
若m，n分别在[50，60）和[90，100）内时，有xa，xb，xc，ya，yb，yc，共有6种情况，
∴基本事件总数为10种，事件“|m-n|＞10”所包含的基本事件个数有6种，
∴p（|m-n）＞10）=$\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$．

点评 本题考查中位数、平均数和概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质及列举法的合理运用．