Question

设抛物线y²=2x的焦点为F，过点M（3，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=

5

2

，则△BCF与△ACF的面积之比

S△BCF

S△ACF

=（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  2

  3

• C、

  3

  4

• D、

  4

  5

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用三角形面积公式，可把△BCF与△ACF的面积之比转化为BC长与AC长的比，再根据抛物线的焦半径公式转化为A，B到准线的距离之比，借助|BF|=

5

2

求出B点坐标，得到AB方程，代入抛物线方程，解出A点坐标，就可求出BN与AE的长度之比，得到所需问题的解．

解答： 解：∵抛物线方程为y²=2x，
∴焦点F的坐标为（

1

2

，0），准线方程为x=-

1

2

，
如图，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E，N，
则|BF|=x₂+

1

2

=2，
∴x₂=2，
把x₂=2代入抛物线y²=2x，得，y₂=-2，
∴直线AB过点M（3，0）与（2，-2）
方程为2x-y-6=0，代入抛物线方程，解得，x₁=

9

2

，
∴|AE|=

9

2

+

1

2

=5，
∵在△AEC中，BN∥AE，
∴

|BC|

|AC|

=

|BN|

|AE|

=

1

2

=

S△BCF

S△ACF

，
故选：A

点评：本题主要考查了抛物线的焦半径公式，侧重了学生的转化能力，以及计算能力．