Question

2．已知二次函数f（x）=ax²+4x-a（-2≤x≤2）的最大值为5，求实数a的值．

Answer 1

分析 对f（x）的对称轴及开口方向进行讨论，判断f（x）在[-2，2]上的单调性，根据最值列方程解出a．

解答 解：f（x）的对称轴为x=-$\frac{2}{a}$．
（1）若$-\frac{2}{a}$≤-2，即0＜a≤1时，f（x）在[-2，2]上是增函数，
∴f_max（x）=f（2），即3a+8=5，解得a=-1（舍）．
（2）若-$\frac{2}{a}$≥2，即-1≤a＜0时，f（x）在[-2，2]上是增函数，
∴f_max（x）=f（2），即3a+8=5，解得a=-1．
（3）若-2＜-$\frac{2}{a}＜0$，即a＞1时，f（x）在[-2，2]上先减后增，
∴f_max（x）=f（2），即3a+8=5，解得a=-1（舍）．
（4）若0$＜-\frac{2}{a}＜2$，即a＜-1时，f（x）在[-2，2]上先增后减，
∴f_max（x）=f（-$\frac{2}{a}$），即-a=5，解得a=-5．
综上，a=-1或a=-5．

点评 本题考查了二次函数的单调性与对称轴的关系，分类讨论思想，属于中档题．