Question

8．在平面直角坐标系中，已知第一象限内的点P（a，b）在直线x+2y-2=0上，则$\frac{4}{a+b}$+$\frac{1}{b}$的最小值是$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 第一象限内的点P（a，b）在直线x+2y-2=0上，可得a+2b-2=0，即（a+b）+b=2，a，b＞0．则$\frac{4}{a+b}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{2}$[（a+b）+b]$（\frac{4}{a+b}+\frac{1}{b}）$=$\frac{1}{2}（5+\frac{4b}{a+b}+\frac{a+b}{b}）$，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵第一象限内的点P（a，b）在直线x+2y-2=0上，
∴a+2b-2=0，即（a+b）+b=2，a，b＞0．
则$\frac{4}{a+b}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{2}$[（a+b）+b]$（\frac{4}{a+b}+\frac{1}{b}）$=$\frac{1}{2}（5+\frac{4b}{a+b}+\frac{a+b}{b}）$≥$\frac{1}{2}（5+2\sqrt{\frac{4b}{a+b}•\frac{a+b}{b}}）$=$\frac{9}{2}$，当且仅当a=b=$\frac{2}{3}$时取等号．
∴$\frac{4}{a+b}$+$\frac{1}{b}$的最小值是$\frac{9}{2}$．
故答案为：$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了点与直线方程的关系、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．