Question

1．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF=90°，AD=2，AB=AF=2FE=1，点P在棱DF上．
（1）求证：AD⊥BF；
（2）若二面角D-AP-C的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求PF的长．

Answer 1

分析 （1）推导出AD⊥AB，从而AD⊥平面ABEF，由此能证明AD⊥BF．
（2）以A为坐标原点，AB、AD、AF所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PF的长．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴AD⊥AB，
∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，AD?平面ABCD，
∴AD⊥平面ABEF，
又BF?平面ABEF，∴AD⊥BF．
解：（2）由（1）知AD⊥平面ABEF，又∠BAF=90°，
∴以A为坐标原点，AB、AD、AF所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则B（1，0，0），D（0，2，0），F（0，0，1），C（1，2，0），
设$\overrightarrow{FP}$=$λ\overrightarrow{FD}$，（0≤λ＜1），则P（0，2λ，1-λ），
$\overrightarrow{AC}$=（1，2，0），$\overrightarrow{AP}$=（0，2λ，1-λ），
设平面APC的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{m}=x+2y=0}\\{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{m}=2λy+（1-λ）z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{m}$=（-2，1，$\frac{2λ}{λ-1}$），
平面APD的一个法向量为$\overrightarrow{AB}$=（1，0，0），
∵二面角D-AP-C的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴$\frac{|\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{5+\frac{4{λ}^{2}}{（λ-1）^{2}}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，解得$λ=\frac{1}{3}$或λ=-1（舍）．
∴$\overrightarrow{FP}$=（0，$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{3}$），
∴PF的长|$\overrightarrow{FP}$|=$\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{1}{9}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查线长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．