Question

18．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，B=45°．b=3
（Ⅰ）若cosC+$\sqrt{2}{cosA}$=1，求A和c的值；
（Ⅱ）若$\overrightarrow m$=（2sin$\frac{A}{2}$，-1），$\overrightarrow n$=（${\sqrt{3}$cos$\frac{A}{2}$，2sin²$\frac{A}{2}}$），f（A）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$，当$\frac{π}{4}$＜A≤$\frac{π}{2}$，求f（A）的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由cosC+$\sqrt{2}{cosA}$=1，结合辅助角公式化简，即可求A和c的值；
（Ⅱ）由二倍角公式，向量的数量积公式化简函数，结合$\frac{π}{4}$＜A≤$\frac{π}{2}$，求f（A）的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵B=45°，∴${cosC}+\sqrt{2}{cosA}=cos（{{{135}^0}-A}）+\sqrt{2}{cosA}$=$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}{cosA}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}sinA+\sqrt{2}{cosA}$
=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}sinA+\frac{{\sqrt{2}}}{2}{cosA}=sin（{A+{{45}^0}}）=1$，
又∵A+45°∈（45°，180°）∴A+45°=90°，即：A=45°．
∴△ABC为等腰直角三角形，$c=\sqrt{{a^2}+{b^2}}=3\sqrt{2}$．…（6分）
（Ⅱ）由二倍角公式得$f（A）=2sin\frac{A}{2}（{\sqrt{3}cos\frac{A}{2}-sin\frac{A}{2}}）=2sin（A+\frac{π}{6}）-1$，
∵$\frac{π}{4}＜A≤\frac{π}{2}$，∴$\frac{5π}{12}＜A+\frac{π}{6}≤\frac{2}{3}π$，
∴$f（A）∈[\sqrt{3}-1，1]$…（6分）

点评 本题考查三角函数的化简，考查二倍角公式、向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强．