Question

15．已知数列{a_n}的前n项和为S_n且2S_n=n（n+1），
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）若b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$，求{b_n}的前n项和T_n．
（3）若C_n=2${\;}^{{a}_{n}}$，{C_n}的前n项和R_n，求满足R_n≥2016的最小整数n．

Answer 1

分析 （1）由2S_n=n（n+1），利用递推关系可得：n=1时，a₁=1；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得出．
（2）b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，利用“裂项求和”方法即可得出：{b_n}的前n项和T_n．
（3）C_n=2${\;}^{{a}_{n}}$=2ⁿ，利用等比数列的求和公式即可得出：前n项和R_n，满足R_n≥2016，转化为：2ⁿ⁺¹-2≥2016，即可得出．

解答 解：（1）∵2S_n=n（n+1），
∴n=1时，a₁=1；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n（n+1）}{2}$-$\frac{n（n-1）}{2}$=n，
n=1时也成立，∴a_n=n．
（2）b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴{b_n}的前n项和T_n=2$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=2$（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{2n}{n+1}$．
（3）C_n=2${\;}^{{a}_{n}}$=2ⁿ，
∴数列{C_n}是等比数列，首项为2，公比为2，
其前n项和R_n=$\frac{2×（{2}^{n}-1）}{2-1}$=2ⁿ⁺¹-2，
满足R_n≥2016，转化为：2ⁿ⁺¹-2≥2016，
2¹⁰=1024，2¹¹=2048．
∴n+1=11，解得n=10．
∴满足R_n≥2016的最小整数n=10．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的求和公式、“裂项求和”方法、不等式的解法、指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．