Question

12．设函数f（x）=（x-a）|x-a|+b，a，b∈R，则下列叙述中，正确的序号是（　　）
①对任意实数a，b，函数y=f（x）在R上是单调函数；
②对任意实数a，b，函数y=f（x）在R上都不是单调函数；
③对任意实数a，b，函数y=f（x）的图象都是中心对称图象；
④存在实数a，b，使得函数y=f（x）的图象不是中心对称图象．

• A． ①③
• B． ②③
• C． ①④
• D． ③④

Answer 1

分析 可先考虑函数g（x）=x|x|的单调性和图象的对称性，然后考虑将函数g（x）的图象左右平移和上下平移，得到函数f（x）=（x-a）|x-a|+b的图象，观察它的上升还是下降和对称性．

解答 解：设函数g（x）=x|x|即g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x≥0}\\{-{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，作出g（x）的图象，得出g（x）在R上是单调增函数，且图象关于原点对称，
而f（x）=（x-a）|x-a|+b的图象可由函数y=g（x）的图象先向左（a＜0）或向右（a＞0）平移|a|个单位，
再向上（b＞0）或向下（b＜0）平移|b|个单位得到．
所以对任意的实数a，b，都有f（x）在R上是单调增函数，且图象关于点（a，b）对称．
故选：A

点评 本题考查了函数的图象和性质，注意运用图象的平移不改变函数的单调性和对称性，并注意去绝对值的方法，本题是一道中档题．