Question

2．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，D，E分别为BC，AB的中点，直线DE交圆O于F，G，且直线DE与过A点的切线交于点P，DF=1，DE=2，PE=3．
（1）求证：△PEA～△BDE；
（2）求线段PA的长．

Answer 1

分析 （1）证明两组对应角相等，即可证明：△PEA～△BDE；
（2）设PG=y，GE=x，则x+y=3，利用三角形相似，可得$\frac{\sqrt{3x}}{\sqrt{2+x}}$=$\frac{3}{\sqrt{6y}}$，由此求线段PA的长．

解答 （1）证明：∵PA是过点A的切线，
∴∠BAP=∠BCA．
∵DE∥AC，
∴∠BCA=∠BDE，
∵∠BEA=∠PEA，
∴△PEA～△BDE；
（2）设PG=y，GE=x，则x+y=3①，
PA=$\sqrt{6y}$，BD=$\sqrt{2+x}$，BE=$\sqrt{3x}$，
∵△PEA～△BDE，
∴$\frac{EB}{BD}$=$\frac{PE}{AP}$，
∴$\frac{\sqrt{3x}}{\sqrt{2+x}}$=$\frac{3}{\sqrt{6y}}$②，
由①②可得x=2，y=1或x=$\frac{1}{2}$，y=$\frac{5}{2}$，
∴PA=$\sqrt{6}$或PA=$\sqrt{15}$．

点评 本题考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．