Question

8．已知以A（-1，2）点为圆心的圆与直线${l_1}：\frac{1}{2}x+y+\frac{7}{2}=0$相切．过点B（-2，0）的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l₁相交于点P．
（1）求圆A的方程；
（2）当$|{MN}|=2\sqrt{19}$时，求直线l的方程；
（3）$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{BQ}$是否是定值，如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）圆与直线${l_1}：\frac{1}{2}x+y+\frac{7}{2}=0$相切，利用圆心到直线的距离等于半径，可得r，可得圆A的方程；
（2）设出直线l的方程，y=k（x+2），Q是MN的中点，当$|{MN}|=2\sqrt{19}$时，QM=$\sqrt{19}$，利用圆心到直线的距离AQ，勾股定理可得K的值，可得直线l的方程．
（3）由直线l过B（-2，0），可分直线斜率存在和不存在两种进行讨论，分别讨论$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{BQ}$是否是定值．

解答 解：（1）设圆A的半径为r，圆与直线${l_1}：\frac{1}{2}x+y+\frac{7}{2}=0$相切，可得r=d=$\frac{|-1+4+7|}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$
∴圆A的方程为（x+1）²+（y-2）²=20．
（2）当斜率k不存在时，即直线与x轴垂直，可得x=-2，符合题意；
当当斜率k存在时，设出直线l的方程，y=k（x+2），Q是MN的中点，当$|{MN}|=2\sqrt{19}$时，QM=$\sqrt{19}$．
AQ=$\sqrt{20-19}=1$，即圆心到直线y=k（x+2）的距离为1．
可得：$\frac{|k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$，解得k=$\frac{3}{4}$
∴直线l的方程为x=-2或y=$\frac{3}{4}$（x+2）．
（3）∵AQ⊥BP，
∴$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{BQ}$=（$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AQ}$）•$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BP}$．
①当斜率k不存在时，即直线与x轴垂直，可得P（-2，-$\frac{5}{2}$），$\overrightarrow{BP}=（0，-\frac{5}{2}）$，又$\overrightarrow{BA}=（1，2）$，
∴$\overrightarrow{BQ}•\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BP}=-5$．
②当斜率k存在时，设直线l的方程，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{x+2y+7=0}\end{array}\right.$解得P（$\frac{-4k-7}{1+2k}$，$\frac{-5k}{1+2k}$），则$\overrightarrow{BP}=（\frac{-5}{1+2k}，\frac{-5k}{1+2k}）$，
∴$\overrightarrow{BQ}•\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BP}=\frac{-5}{1+2k}+\frac{-10k}{1+2k}$=-5
综上所得，$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{BQ}$是定值，且这个定值$\overrightarrow{BQ}•\overrightarrow{BP}=-5$．

点评 本题主要考查了直线与圆的方程的应用，直线的一般方程，圆的标准方程，弦长问题，点到直线的距离公式，斜率的存在性的讨论等，综合性强，计算量大．属于中档偏难．