Question

9．已知点A，B，C都在球面上，且球心O到平面ABC的距离等于球的半径的$\frac{1}{2}$，且AB=2，AC=2$\sqrt{2}$，BC=2$\sqrt{3}$，设三棱锥O-ABC的体积为V₁，球的体积为V₂，则$\frac{V_1}{V_2}$=（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{16π}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{8π}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{4π}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2π}$

Answer 1

分析 求出三角形ABC的外心，利用球心到△ABC所在平面的距离为球半径的一半，求出球的半径，即可求出三棱椎O-ABC的体积为V₁，球的体积为V₂，从而求$\frac{V_1}{V_2}$．

解答 解：由题意AB=2，AC=2$\sqrt{2}$，BC=2$\sqrt{3}$，∵AB²+AC²=BC²，可知三角形是直角三角形，
三角形的外心是BC的中点，球心到截面的距离就是球心与三角形外心的距离，
设球的半径为R，球心到△ABC所在平面的距离为球半径的一半，
所以R²=（$\frac{1}{2}R$）²+3，
解得R²=4，
∴V₂=$\frac{32}{3}$π，V₁=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}×1$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴$\frac{V_1}{V_2}$=$\frac{\sqrt{2}}{16π}$，
故选：A．

点评 本题是中档题，考查球的内接多面体，找出球的半径满足的条件是解题的关键．