Question

20．椭圆$\frac{x^2}{{4{a^{\;}}}}+\frac{y^2}{{{a^2}+1}}=1（a＞0）$的焦点在x轴上，则它的离心率的最大值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 由椭圆的焦点在x轴上，4a＞a²+1，由椭圆的离心率公式e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{a}^{2}+1}{4a}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{4}（a+\frac{1}{a}）}$，利用基本不等式的性质，即可求得离心率的最大值．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{{4{a^{\;}}}}+\frac{y^2}{{{a^2}+1}}=1（a＞0）$的焦点在x轴上，
∴4a＞a²+1，
椭圆的离心率：$e=\sqrt{1-{{（\frac{b'}{a'}）}^2}}=\sqrt{1-\frac{{{a^2}+1}}{4a}}=\sqrt{1-\frac{1}{4}（a+\frac{1}{a}}）≤\sqrt{1-\frac{1}{4}×2}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
当且仅当a=$\frac{1}{a}$时，即a=1时取等号，
故答案选：C．

点评 本题考查椭圆的标准方程及性质，考查椭圆的利用率公式与基本不等式相结合，考查计算能力，属于中档题．