Question

7．如图，在△ABC中，点D在边AB上，AC=7，CD=5，BC=$\sqrt{31}$，BD=2AD
（1）求AD的长
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由题意设AD=x，则BD=2AD=2x，分别在△ACD和△BCD中由余弦定理可得x的方程，解方程可得；
（2）由余弦定理可得cos∠ACD和cos∠BCD，进而由同角三角函数基本关系可得sin∠ACD和sin∠BCD，由和差角的三角函数公式可得sin∠ACB，代入三角形的面积公式计算可得．

解答 解：（1）由题意设AD=x，则BD=2AD=2x，
在△ACD中由余弦定理可得7²=5²+x²-2•5•x•cos∠ADC，
整理可得24-x²=-10x•cos∠ADC，①，
同理在△BCD中由余弦定理可得（$\sqrt{31}$）²=5²+（2x）²-2•5•2x•cos∠BDC，
整理可得6-4x²=-20x•cos∠BDC=20x•cos∠ADC，②
由①②消去cos∠ADC可解得x=3，
故AD=3，BD=2AD=6；
（2）由余弦定理可得cos∠ACD=$\frac{{7}^{2}+{5}^{2}-{3}^{2}}{2×7×5}$=$\frac{13}{14}$，
cos∠BCD=$\frac{{5}^{2}+（\sqrt{31}）^{2}-{6}^{2}}{2×5×\sqrt{31}}$=$\frac{2\sqrt{31}}{31}$，
∴sin∠ACD=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠ACD}$=$\frac{3\sqrt{3}}{14}$
sin∠BCD=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠BCD}$=$\frac{3\sqrt{93}}{31}$，
∴sin∠ACB=sin（∠ACD+∠BCD）
=sin∠ACDcos∠BCD+cos∠ACDsin∠BCD
=$\frac{3\sqrt{3}}{14}×\frac{2\sqrt{31}}{31}$+$\frac{13}{14}×\frac{3\sqrt{93}}{31}$=$\frac{45\sqrt{93}}{14×31}$，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$×7×$\sqrt{31}$×$\frac{45\sqrt{93}}{14×31}$=$\frac{45\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面积公式以及和差角的三角函数公式，属中档题．