Question

2．已知命题p：方程$\frac{{y}^{2}}{m}$$+\frac{{x}^{2}}{3}$=1表示的焦点在y轴上的椭圆；命题q：方程$\frac{{x}^{2}}{m+2}$$-\frac{{y}^{2}}{m-4}$=1表示的曲线是双曲线，若“p∧q”为假命题且“p∨q”为真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 先求出命题p真、命题q真时m的范围，由p、q一真一假列式求解．

解答 解：命题p真：方程$\frac{{y}^{2}}{m}$$+\frac{{x}^{2}}{3}$=1表示的焦点在y轴上的椭圆，∴m＞3；
命题q真：方程$\frac{{x}^{2}}{m+2}$$-\frac{{y}^{2}}{m-4}$=1表示的曲线是双曲线，∴（m+2）（m-4）＞0⇒m＜-2或m＞4；
若“p∧q”为假命题且“p∨q”为真命题，则p、q一真一假，
①若p真q假．则$\left\{\begin{array}{l}{m＞3}\\{-2≤m≤4}\end{array}\right.\\;解得3＜m≤4$⇒3＜m≤4；
②若p假q真．则$\left\{\begin{array}{l}{m≤3}\\{m＜-2\\;或m＞4}\end{array}\right.$⇒m＜-2
综上实数m的取值范围为（-∞，-2）∪（3，4]

点评 本题考查了复合命题真假的应用，涉及到了圆锥曲线的方程，属于基础题．