Question

已知函数f（x）=axlnx+b（a，b为常数）在（1，0）处切线方程y=x-1
（Ⅰ）试求a，b的值．  
（Ⅱ）若方程f（x）=m有两不等实数根，求m的范围．
（Ⅲ）g（x）=f′（x），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）为y=g（x）曲线上不同两点，记直线AB的斜率为k，证明：k＞g′（

x1+x2

2

）．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出函数的导数，由已知切线方程，得出f（1）=0，f′（1）=1，列方程组求出a，b；
（Ⅱ）求得f（x）的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，进而得到极小值，即最小值，由条件即可得到m的范围；
（Ⅲ）运用分析法，要证k＞g′（

x1+x2

2

），即证

lnx1-lnx2

x1-x2

＞

2

x1+x2

，设x₁＜x₂，且

x1

x2

=t（0＜t＜1），即证lnt＞

2(t-1)

t+1

，设h（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

，求出导数，判断单调性，即可得证．

解答： （Ⅰ）解：函数f（x）=axlnx+b的导数为f′（x）=a（1+lnx），
在（1，0）处切线斜率为a，
由切线方程y=x-1，可得a=1，
又f（1）=0，即有b=0；
（Ⅱ）解：f（x）=xlnx，导数f′（x）=lnx+1，
当x＞

1

e

时，f′（x）＞0，f（x）递增，当0＜x＜

1

e

时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有x=

1

e

时，f（x）取得极小值，也为最小值，且为-

1

e

，
若方程f（x）=m有两不等实数根，则-

1

e

＜m＜0；
（Ⅲ）证明：g（x）=f′（x）=lnx+1，g′（x）=

1

x

，
要证k＞g′（

x1+x2

2

），即证

lnx1-lnx2

x1-x2

＞

2

x1+x2

，
即证ln

x1

x2

＞

2x1 x2 -2

x1 x2 +1

，
设x₁＜x₂，且

x1

x2

=t（0＜t＜1），即证lnt＞

2(t-1)

t+1

，
即证lnt-

2(t-1)

t+1

＞0．
设h（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

，h′（t）=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t+3)(t-1)

t(t+1)2

＜0，
即有h（t）在（0，1）递减，
h（t）＞h（1）=0，
则有lnt-

2(t-1)

t+1

＞0，
即有k＞g′（

x1+x2

2

）成立．

点评：本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的极值、最值，考查函数的单调性的运用，考查转化思想，考查学生综合运用导数知识解决问题的能力．