Question

已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且BC边上的高为a，则

b

c

+

c

b

的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：直角三角形的射影定理

专题：解三角形

分析：先利用余弦定理求得b，c和a的关系式，继而根据三角形面积公式求得

1

2

bcsinA=

1

2

a²，形_{^{进而表示出}}b²+c²，然后利用基本不等式求得

b

c

+

c

b

的最小值，根据

b

c

+

c

b

的表达式求得其最大值．

解答：解：由余弦定理b²+c²=a²+2cosAbc
由面积公式

1

2

bcsinA=

1

2

a²，
∴b²+c²=bc（sinA+2cosA）
∴

b

c

+

c

b

=

b2+c2

bc

=sinA+2cosA=

5

sin（A+φ），（tanφ=2）
∵

5

sin（A+φ）≤

5

，
∴

b

c

+

c

b

≤

5

，
∵

b

c

+

c

b

≥2

b c • c b

=2，
∴

b

c

+

c

b

的取值范围为[2，

5

]
故答案为：[2，

5

]

点评：本题主要考查了余弦定理的应用，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用以及基本不等式的基础知识．考查了学生的综合思维．