Question

已知f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，a∈R．
（1）若a=1，求f（x）的极小值；
（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值为3．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）当a=1时，f（x）=x-lnx，f′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

，利用极值与函数的单调性的关系即可得出；
（2）对a分类讨论：当a≤0时，当0＜

1

a

＜e时，

1

a

≥e时，利用导数研究函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=x-lnx，
f′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

，
∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减；
当1＜x＜e时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增．
∴f（x）的极小值为f（1）=1．
（2）假设存在实数a，使f（x）=ax-lnx，x∈[0，e]有最小值3，
f′（x）=a-

1

x

=

ax-1

x

，
①当a≤0时，f（x）在（0，e]上单调递增，
f（x）_min=f（e）=ae-1=3，a=

4

e

（舍去），
∴此时f（x）最小值不为3；
②当0＜

1

a

＜e时，f（x）在（0，

1

a

）上单调递减，在(

1

a

，e]上单调递增，∴f（x）_min=f(

1

a

)=1+lna=3，解得a=e²，满足条件；
③

1

a

≥e时，f′（x）≤0，函数f（x）在（0，e]上单调递减，∴f（x）_min=f（e）=ae-1=3，解得a=

4

e

，舍去．
综上可得：存在实数a=e²，使得当x∈（0，e]时，f（x）有最小值为3．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．