Question

12．已知递减等差数列{a_n}满足：a₁=2，a₂•a₃=40．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（Ⅱ）若递减等比数列{b_n}满足：b₂=a₂，b₄=a₄，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （I）格局等差数列的通项公式列方程组解出公差，得出通项公式，代入求和公式计算S_n；
（II）根据等比数列的通项公式列方程组解出首项和公比即可得出通项公式．

解答 解：（I）设{a_n}的公差为d，则a₂=2+d，a₃=2+2d，
∴（2+d）（2+2d）=40，解得：d=3或d=-6．
∵{a_n}为递减数列，∴d=-6．
∴a_n=2-6（n-1）=8-6n，
S_n=$\frac{{a}_{1}+{a}_{n}}{2}$•n=-3n²+5n．
（II）由（I）可知a₂=-4，a₄=-16．
设等比数列{b_n}的公比为q，
则$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}q=-4}\\{{b}_{1}{q}^{3}=-16}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}=-2}\\{q=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}=2}\\{q=-2}\end{array}\right.$．
∵{b_n}为递减数列，∴$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}=-2}\\{q=2}\end{array}\right.$．
∴b_n=-2•2^n-1=-2ⁿ．

点评 本题考查了等差数列，等比数列的通项公式，求和公式，属于中档题．