Question

定义在（-∞，4]上的减函数f（x），使得f（m-sinx）≤f（

1+2m

-

7

4

+cos²x）对一切实数x均成立，则实数m的范围

3

2

≤m≤3或m=-

1

2

．

Answer 1

分析：根据已知条件定义在（-∞，4]上的减函数f（x），首先都要满足定义域小于等于4，然后根据减函数的性质列出不等式求出m的范围；

解答：解：∵减函数f（x）定义在（-∞，4]上，∴m-sinx≤4…①，

1+2m

-

7

4

+cos2x≤4…②，
∵1+2m≥0，∴m≥-

1

2

；
∵f（m-sinx）≤f（

1+2m

-

7

4

+cos²x）对一切实数x均成立，
∴m-sinx≥

1+2m

-

7

4

+cos2x…③，（m≥-

1

2

）
解①得，m≤4+sinx，∵-1≤sinx≤1，∴m≤3；
解②得，

1+2m

≤

23

4

-cos2x，∴

1+2m

≤

19

4

，解得m≤

345

32

，
解③得，m-

1+2m

+

3

4

≥-sin²x+sinx=-（sinx-

1

2

）²+

1

4

，
∴（sinx-

1

2

）²≥

1+2m

-m-

1

2

，∵-1≤sinx≤1，
∴当sinx=

1

2

时（sinx-

1

2

）²取最小值为0，
∴0≥

1+2m

-m-

1

2

，解得m≥

3

2

或m=-

1

2

，
由①②③综合得：

3

2

≤m≤3或m=-

1

2

；
故答案为：

3

2

≤m≤3或m=-

1

2

点评：此题主要考查函数的单调性与三角函数的性质，思路很简单但是计算很复杂，考查学生的计算能力，这一点在高考中均有体现，此题易错点忽视了定义域，1+2m≥0，这个条件不要忘记了；