Question

3．用max{a，b}表示a，b两数中的最大值，函数f（x）=max{a^x，$\frac{x}{4}$}（a＞0，a≠1），若f（x）＞$\frac{1}{2}$恒成立，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• B． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）
• C． （1，$\sqrt{2}$）
• D． （$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 分别画出y=a^x的图象，分0＜a＜1或a＞1，以及y=$\frac{x}{4}$的图象，分类讨论，即可求出a的取值范围．

解答 解：分别画出y=a^x的图象，分0＜a＜1或a＞1，以及y=$\frac{x}{4}$的图象，
由图象可知，当a＞1时，
当a＞1时，f（x）=max{a^x，$\frac{x}{4}$}=a^x，
由于f（x）＞0，在x∈R，故f（x）＞$\frac{1}{2}$不恒成立，故不符合题意，
当0＜a＜1时，f（x）=max{a^x，$\frac{x}{4}$}，
当$\frac{x}{4}$＞$\frac{1}{2}$时，解的x＞2时，
故当x＜2时，a^x＞$\frac{1}{2}$，
∴a²＞$\frac{1}{2}$，
解得a＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$
故$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜a＜1，
故选：B．

点评 本题考查了函数的图象和性质，以及不等式恒成立的问题，属于中档题．