Question

7．已知数列{a_n}为等比数列，a₁=4，且2a₂+a₃=60．
（1）求{a_n}；
（2）若数列{b_n}满足，b_n+1=b_n+a_n，b₁=a₂＞0，求b_n．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）由b₁=a₂＞0，取a_n=4×3^n-1，可得b₁=12．变形为b_n+1-b_n=a_n=4×3^n-1，利用“累加求和”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，∵a₁=4，且2a₂+a₃=60．
∴4×（2q+q²）=60，化为：q²+2q-15=0，解得q=-5，或q=3．
∴a_n=4×（-5）^n-1，或a_n=4×3^n-1．
（2）∵b₁=a₂＞0，∴a_n=4×3^n-1，可得b₁=12．
∴b_n+1-b_n=a_n=4×3^n-1，
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁=4×（3^n-2+3^n-3+…+3+1）+12
=$4×\frac{{3}^{n-1}-1}{3-1}$+12
=2×3^n-1+10．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、“累加求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．