Question

8．已知函数$f（x）=\frac{3}{x}-x+alnx$，且x=3是函数f（x）的一个极值点．
（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设g（x）=f（x）-m，讨论函数y=g（x）在区间（0，5]上零点的个数？
（参考数据：ln5≈1.61，ln3≈1.10）．

Answer 1

分析 （I）根据f′（x）=-$\frac{3}{{x}^{2}}$-1+$\frac{a}{x}$，及x=3是函数f（x）的一个极值点得a=4．
（II）有函数求导得到导函数，在令导函数大于零解出的x的范围即为函数的单调区间；
（III）由题意先求出函数f（x）的解析式，再利用令g（x）=f（x）-m=0，得f（x）=m，函数y=g（x）在区间（0，5]上零点的个数是函数y=f（x），x∈（0，5]与直线y=m交点个数，结合图象即得．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=-$\frac{3}{{x}^{2}}$-1+$\frac{a}{x}$，
由x=3是函数f（x）的一个极值点得：
f′（3）=-$\frac{1}{3}$-1+$\frac{a}{3}$=0⇒a=4．
（II）由（I）知：f′（x）=-$\frac{3}{{x}^{2}}$-1+$\frac{4}{x}$，根据f′（x）＞0得：1＜x＜3；
由f′（x）＜0及x＞0得：0＜x＜1；或x＞3；
于是，（0，1）为其单调递减区间；（1，3）为其单调递增区间；（ 3，+∞）为其单调递减区间；
（III）令g（x）=f（x）-m=0，得f（x）=m，
函数y=g（x）在区间（0，5]上零点的个数是函数y=f（x），x∈（0，5]与直线y=m交点个数，
由下表结合图象得当m＜2时，
函数y=g（x）在区间（0，5]上零点的个数是为0；
当m=2或m＞4ln3-2时，函数y=g（x）在区间（0，5]上零点的个数是为1；
当2＜m＜4ln5-$\frac{22}{5}$或m=4ln3-2时，函数y=g（x）在区间（0，5]上零点的个数是为2；
当4ln5-$\frac{22}{5}$≤m＜4ln3-2时，函数y=g（x）在区间（0，5]上零点的个数是为3．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性、极值、零点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．