Question

6．有两个函数$f（x）=asin（kx+\frac{π}{3}），g（x）=btan（kx-\frac{π}{4}）（k＞0）$，它们的最小正周期之和为3π，且满足$f（2π）=g（\frac{π}{2}），f（\frac{3π}{2}）=g（\frac{5π}{12}）-2$，求这两个函数的解析式，并求g（x）的对称中心坐标及单调区间．

Answer 1

分析 根据题意列出方程组，求出k、a、b的值，写出函数f（x）、g（x）的解析式，再求函数g（x）的对称中心坐标与单调区间．

解答 解：依题意可得：$\left\{\begin{array}{l}\frac{2π}{k}+\frac{π}{k}=3π\\ asin（2kπ+\frac{π}{3}）=btan（\frac{kπ}{2}-\frac{π}{4}）\\ asin（\frac{3}{2}kπ+\frac{π}{3}）=btan（\frac{5kπ}{12}-\frac{π}{4}）-2\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}k=1\\ a=2\\ b=\sqrt{3}.\end{array}\right.$；
故$f（x）=2sin（x+\frac{π}{3}），g（x）=\sqrt{3}tan（x-\frac{π}{4}）$；
令$x-\frac{π}{4}=\frac{kπ}{2}$，得$x=\frac{π}{4}+\frac{kπ}{2}$，
故g（x）的对称中心坐标为$（\frac{π}{4}+\frac{kπ}{2}，0）（k∈Z）$，
当$-\frac{π}{2}+kπ＜x-\frac{π}{4}＜\frac{π}{2}+\frac{kπ}{2}（k∈Z）$时，g（x）单调递增，
即当$-\frac{π}{4}+kπ＜x＜\frac{3π}{4}+\frac{kπ}{2}（k∈Z）$时，g（x）单调递增，无递减区间．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．