Question

14．已知圆E：（x+1）²+y²=16，点F（1，0），P是圆E上任意一点，线段PE的垂直平分线和半径PE相交于Q．
（1）求动点Q的轨迹Γ的方程；
（2）点C（1，$\frac{3}{2}$），直线l的方程为x=4，AB是经过F的任一弦（不经过点C），设直线AB与直线l相交于点M，记CA、CB、CM斜率分别为k₁、k₂、k₃，且存在常数λ，使得k₁+k₂=λk₃，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：圆E：（x+1）²+y²=16的圆心E（-1，0），半径为4，连结QF，根据题意，|QP|=|QF|，|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4，动点Q的轨迹Γ是以E（-1，0），F（1，0），为焦点，长轴长为4的椭圆，即可求得a和b的值，求得动点Q的轨迹Γ的方程；
（2）直线AB的方程为y=k（x-1），代入椭圆方程，由韦达定理可知：x₁+x₂=$\frac{8km}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$，则k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-\frac{3}{2}}{{x}_{1}-1}$+$\frac{{y}_{2}-\frac{3}{2}}{{x}_{2}-1}$=$\frac{k（{x}_{1}-1）-\frac{3}{2}}{{x}_{1}-1}$+$\frac{k（{x}_{2}-1）-\frac{3}{2}}{{x}_{2}-1}$，利用韦达定理代入即可求得k₁+k₂=2k-1，当x=4，代入y=k（x-1），y=3k，求得M坐标，则k₃=$\frac{3k-\frac{3}{2}}{3}$=k-$\frac{1}{2}$，因此k₁+k₂=2k₃，即可求得λ的值．

解答 解：（1）圆E：（x+1）²+y²=16的圆心E（-1，0），半径为4，
连结QF，根据题意，|QP|=|QF|，
则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4，
故动点Q的轨迹Γ是以E（-1，0），F（1，0），为焦点，长轴长为4的椭圆．     （2分）
设椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
∴a=2，c=1，
∴b²=a²-c²=3，（3分）
∴点Q的轨迹Γ的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．                                （5分）
（2）设直线AB的方程为y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=$\frac{8km}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$，（7分）
由k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-\frac{3}{2}}{{x}_{1}-1}$+$\frac{{y}_{2}-\frac{3}{2}}{{x}_{2}-1}$=$\frac{k（{x}_{1}-1）-\frac{3}{2}}{{x}_{1}-1}$+$\frac{k（{x}_{2}-1）-\frac{3}{2}}{{x}_{2}-1}$，
=2k-$\frac{3}{2}$（$\frac{1}{{x}_{1}-1}$+$\frac{1}{{x}_{2}-1}$）=2k-$\frac{3}{2}$•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}-2}{{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{1}+{x}_{2}）+1}$，
=2k-$\frac{3}{2}$•$\frac{\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}-2}{\frac{4{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}-\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}+1}$=2k-1，（10分）
又将x=4，代入y=k（x-1），y=3k，
∴M（4，3k）
由k₃=$\frac{3k-\frac{3}{2}}{3}$=k-$\frac{1}{2}$，
∴k₁+k₂=2k₃，
故存在常数λ=2符合题意．                  （12分）

点评 本题考查椭圆的定义及标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式与韦达定理的应用，考查计算能力，属于中档题．