Question

17．已知数列{a_n}是以$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，数列{b_n}的前n项和为S_n，满足b_n=2sin（πa_n+φ），φ∈（0，$\frac{π}{2}$），则S_n不可能是（　　）

• A． -1
• B． 0
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 数列{a_n}是以$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，可得a_n=a₁+$\frac{1}{2}$（n-1），S_n=b₁+b₂+…+b_n=2sin（πa₁+φ）+$2sin（π{a}_{1}+\frac{π}{2}+φ）$+…+2sin$（π{a}_{1}+\frac{n-1}{2}π+φ）$，φ∈（0，$\frac{π}{2}$），S₄=0．利用其周期性即可得出．

解答 解：数列{a_n}是以$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，∴a_n=a₁+$\frac{1}{2}$（n-1），
∵b_n=2sin（πa_n+φ）=2sin$（π{a}_{1}+\frac{n-1}{2}π+φ）$，φ∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=2sin（πa₁+φ）+$2sin（π{a}_{1}+\frac{π}{2}+φ）$+…+2sin$（π{a}_{1}+\frac{n-1}{2}π+φ）$，φ∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴S₄=0．
∴S_4n+1=S₁∈[-2，2]，S_4n+2=S₂=2$\sqrt{2}$sin（πa₁+φ）∈[-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$]，S_4n+3=S₃=2cos（πa₁+φ）∈[-2，2]，S_4n+4=S₄=0．
则S_n不可能是3．
故选：D．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、诱导公式、和差公式、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．