Question

13．已知函数f（x）=-x²+mx-3（m∈R），g（x）=xlnx
（Ⅰ）若f（x）在x=1处的切线与直线3x-y+3=0平行，求m的值；
（Ⅱ）求函数g（x）在[a，a+2]（a＞0）上的最小值；
（Ⅲ）?x∈（0，+∞）都有f（x）≤2g（x）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，得到关于m的方程，求出m的值即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的最小值即可；
（Ⅲ）问题转化为m≤x+2lnx+$\frac{3}{x}$，x∈（0，+∞），设h（x）=x+2lnx+$\frac{3}{x}$，x∈（0，+∞），根据函数的单调性求出m的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=-2x+m，
因为f（x）在x=1处的切线与直线3x-y+3=0平行，
所以f′（1）=-2+m=3，得m=5；
（Ⅱ）g′（x）=1+lnx，
令g′（x）=0，得x=$\frac{1}{e}$，

x	（0，$\frac{1}{e}$）	$\frac{1}{e}$	（$\frac{1}{e}$，+∞）
g′（x）	-	0	+
g（x）	单调递减	极小值	单调递增

因为a＞0，a+2-a=2，
当0＜a＜$\frac{1}{e}$时，g（x）在[a，$\frac{1}{e}$]单调递减，在[$\frac{1}{e}$，a+2]上单调递增，
所以函数g（x）在[a，a+2]上的最小值g（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$；
当a≥$\frac{1}{e}$时，g（x）在[a，a+2]上单调递增，
所以函数g（x）在[a，a+2]上的最小值g（a）=alna；
（Ⅲ）因为?x∈（0，+∞）都有f（x）≤2g（x）恒成立，
即f（x）-2g（x（=-x²+mx-3-2xlnx≤0，
即m≤x+2lnx+$\frac{3}{x}$，x∈（0，+∞），
设h（x）=x+2lnx+$\frac{3}{x}$，x∈（0，+∞），
只需m≤h（x）_min，
h′（x）=$\frac{（x+3）（x-1）}{{x}^{2}}$，
令h′（x）=0，得x=1

x	（0，1）	1	（1，+∞）
h′（x）	-	0	+
h（x）	单调递减	极小值	单调递增

∴h（1）_min=4，∴m≤4．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．