Question

16．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2ax+lnx（a∈R），x∈（1，+∞）．
（1）若函数f（x）有且只有一个极值点，求实数a的取值范围；
（2）对于函数f（x）、f₁（x）、f₂（x），若对于区间D上的任意一个x，都有f₁（x）＜f（x）＜f₂（x），则称函数f（x）是函数f₁（x）、f₂（x）在区间D上的一个“分界函数”．已知f₁（x）=（1-a²）lnx，f₂（x）=（1-a）x²，问是否存在实数a，使得f（x）是函数f₁（x）、f₂（x）在区间（1，+∞）上的一个“分界函数”？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据f（x）有且只有一个极值点，得到x²-2ax+1＜0恒成立，求出a的范围即可；
（2）根据“分界函数”的定义，只需x∈（1，+∞）时，f（x）-（1-a）x²＜0恒成立且f（x）-（1-a²）lnx＞0恒成立，判断函数的单调性，求出a的范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{{x}^{2}-2ax+1}{x}$，x∈（1，+∞），
令g（x）=x²-2ax+1，由题意得：g（x）在[1，+∞）有且只有1个零点，
∴g（1）＜0，解得：a＞1；
（2）若f（x）是函数f₁（x）、f₂（x）在区间（1，+∞）上的一个“分界函数”，
则x∈（1，+∞）时，f（x）-（1-a）x²＜0恒成立且f（x）-（1-a²）lnx＞0恒成立，
令h（x）=f（x）-（1-a）x²=（a-$\frac{1}{2}$）x²-2ax+lnx，
则h′（x）=$\frac{[（2a-1）x-1]（x-1）}{x}$，
①2a-1≤0即a≤$\frac{1}{2}$时，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）递减，且h（1）=-$\frac{1}{2}$-a，
∴h（1）≤0，解得：-$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{1}{2}$；
②2a-1＞0即a＞$\frac{1}{2}$时，y=（a-$\frac{1}{2}$）x²-2ax的图象开口向上，
存在x₀＞1，使得（a-$\frac{1}{2}$）${{x}_{0}}^{2}$-2ax₀＞0，
从而h（x₀）＞0，h（x）＜0在（1，+∞）不恒成立，
令m（x）=f（x）-（1-a²）lnx=$\frac{1}{2}$x²-2ax+a²lnx，
则m′（x）=$\frac{{（x-a）}^{2}}{x}$≥0，m（x）在（1，+∞）递增，
由f（x）-（1-a²）lnx＞0恒成立，得：m（1）≥0，解得：a≤$\frac{1}{4}$，
综上，a∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$]时，f（x）是函数f₁（x）、f₂（x）在区间（1，+∞）上的一个“分界函数”．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查新定义问题，是一道综合题．