Question

1．已知0＜α＜$\frac{π}{2}$＜β＜π，$\vec a$=（cosα，3），$\vec b$=（-4，sinα），且$\vec a$⊥$\vec b$，cos（β-α）=$\frac{{\sqrt{2}}}{10}$．
（ I）求tanα和sinα的值；     
（ II）求sinβ的值．

Answer 1

分析 （ I）利用两个向量垂直的性质，两个向量数量积的运算，求得tanα和sinα的值．
（ II）利用同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式，求得sinβ的值．

解答 解：（Ⅰ）∵$\vec a⊥\vec b$且$\vec a=（cosα，3）$，$\vec b=（-4，sinα）$，∴-4cosα+3sinα=0，
即3sinα=4cosα，∴$tanα=\frac{4}{3}$．
联立 $\left\{\begin{array}{l}3sinα=4cosα\\{sin^2}α+{cos^2}α=1\end{array}\right.$，解得$sinα=±\frac{4}{5}$，
又$0＜α＜\frac{π}{2}$，∴$sinα=\frac{4}{5}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）易求得$cosα=\frac{3}{5}$，
又$0＜α＜\frac{π}{2}＜β＜π$，∴$-\frac{π}{2}＜-α＜0，\frac{π}{2}＜β＜π$，∴0＜β-α＜π，
∴$sin（β-α）=\sqrt{1-{{cos}^2}（β-α）}=\sqrt{1-{{（\frac{{\sqrt{2}}}{10}）}^2}}=\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$，
∴sinβ=sin[（β-α）+α]=sin（β-α）cosα+cos（β-α）sinα=$\frac{{7\sqrt{2}}}{10}•\frac{3}{5}+\frac{{\sqrt{2}}}{10}•\frac{4}{5}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量数量积的运算，同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式的应用，属于中档题．