Question

3．已知函数f（x）=$\frac{ax}{1+x{\;}^{2}}$（a≠0）．
（1）试讨论y=f（x）的极值；
（2）若a＞0，设g（x）=x²e^mx，且任意的x₁，x₂∈[0，2]，f（x₁）-g（x₂）≥-1恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的极值即可；
（2）结合题意得到f（x）_min（x₁）+1≥g_max（x₂），法一：分离参数问题转化为m≤-$\frac{2lnx}{x}$，从而求出m的范围即可；法二：通过分类讨论求出m的范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=-$\frac{a（x+1）（x-1）}{{（1{+x}^{2}）}^{2}}$，
a＞0时，当x=-1时，f（x）的极小值为f（-1）=-$\frac{a}{2}$，
当x=1时，f（x）的极大值为f（1）=$\frac{a}{2}$，
a＜0时，当x=-1时，f（x）的极大值为f（-1）=-$\frac{a}{2}$，
当x=1时，f（x）的极小值为f（1）=$\frac{a}{2}$；
（2）方法一：由题意知，x₁，x₂∈[0，2]，
f（x）_min（x₁）+1≥g_max（x₂），
x₁∈[0，2]，f_min（x₁）+1=1，
x∈[0，2]，x²e^mx≤1，m≤-$\frac{2lnx}{x}$，m≤{-$\frac{2lnx}{x}$}_min，m≤-ln2，
方法二：分类讨论
x₁∈[0，2]，f_min（x₁）+1=1，
∴x∈[0，2]，g_max（x）≤1，
g（x）=x²e^mx，g′（x）=e^mxx（mx+2），
1）当m≥0时，g（x）在[0，2]上单调递增，
g_max（x）=g（2）=4•e^2m≤1，解得：m≤-ln2（舍），
2）当-1＜m＜0时，g（x）在[0，2]上单调递增，
g_max（x）=g（2）=4e^2m≤1，解得：m≤-ln2，
∴-1＜m≤-ln2，
3）当m≤-1时，g（x）在[0，-$\frac{2}{m}$]上单调递增，在[-$\frac{2}{m}$，2]上单调递减，
g_max（x）=g（-$\frac{2}{m}$）=$\frac{4}{{{m}^{2}e}^{2}}$≤1，解得：m≤-$\frac{2}{e}$，∴m≤-1，
综合得：m≤-ln2．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．