Question

14．如图所示，在空间四边形ABCD中，AD、CD、AB、BD的中点分别为E、F、G、H．已知AD=1，BC=$\sqrt{3}$，且，对角线$BD=\frac{{\sqrt{13}}}{2}，AC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．求证：△EFG为直角三角形．

Answer 1

分析 △EFG中，证明EG²+EF²=1=GF²，即可证明结论．

解答 证明：由三角形的中位线定理可知EF∥AC，EF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，GE∥BD，GE=$\frac{\sqrt{13}}{4}$，
同理GH=$\frac{1}{2}$，HF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，GH∥AD，HF∥BC．
∵AD⊥BC，∴∠GHF=90°，
∴GF²=GH²+HF²=1，
△EFG中，EG²+EF²=1=GF²，
∴∠GEF=90°，
∴△EFG为直角三角形．

点评 本题考查三角形中位线性质定理，考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理是关键．