Question

11．如图，在以A，B，C，D，E为顶点的五面体中，O为AB的中点，AD⊥平面ABC，AD∥BE，AC⊥CB，$AC=2\sqrt{2}$，AB=2BE=4AD=4．
（1）在图中过点O作平面α，使得α∥平面CDE，并说明理由；
（2）求直线DE与平面CBE所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）在BE上取点F，使得$BF=\frac{1}{4}BE$，在BC上取点H，使$BH=\frac{1}{4}BC$，连接OF，FH，OH，取BE的中点G，连接AG，推导出AGED是平行四边形，从而DE∥AG，再推导出OF∥AG，OF∥DE，从而OF∥平面CDE，再推导出FH∥平面CDE，由此能推导出α∥平面CDE．
（2）连接CG，推导出BE⊥平面ABC，从而BE⊥AC，进而AC⊥平面EBC，∠AGC是AG与平面CBE所成的角，由DE∥AG，得AG与平面CBE所成的角等于DE与平面CBE所成的角，由此能出直线DE与平面CBE所成角的正切值．

解答 解：（1）如图，在BE上取点F，使得$BF=\frac{1}{4}BE$，在BC上取点H，使$BH=\frac{1}{4}BC$，
连接OF，FH，OH，则平面OFH即为所求的平面α．  …（2分）
理由如下：
取BE的中点G，连接AG，∵BE=2AD，G为BE中点，∴AD=EG，
∵AD∥BE，∴AD∥EG，∴AGED是平行四边形，∴DE∥AG，
△ABG中，F是BG中点，O是AB中点，
∴OF是中位线，∴OF∥AG，∴OF∥DE，…（3分）
OF?平面CDE，DE?平面CDE，∴OF∥平面CDE．                  …（4分）
又△BCE中，$BF=\frac{1}{4}BE$，BH=$\frac{1}{4}$BC，∴FH∥CE，
∵FH?平面CDE，CE?平面CDE，∴FH∥平面CDE，…（5分）
又OF∩FH=F，OF?平面OFH，FH?平面OFH，
∴平面OFH∥平面CDE，即α∥平面CDE． …（6分）
（2）连接CG，∵AD⊥平面ABC，
又∵AD∥BE，∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥AC，
又AC⊥CB∴AC⊥平面EBC…（7分）∴∠AGC是AG与平面CBE所成的角，
∵DE∥AG，∴AG与平面CBE所成的角等于DE与平面CBE所成的角，…（8分）
在Rt△ABC中，AB=4，$AC=2\sqrt{2}$，∴$BC=2\sqrt{2}$，
∴在Rt△BCG中，$CG=\sqrt{B{C^2}+B{G^2}}=3$…（9分）
∴在Rt△ACG中，$tan∠AGC=\frac{AC}{CG}=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$
∴直线DE与平面CBE所成角的正切值为$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$…（10分）

点评 本题考查满足线面平行的点的位置的确定与求法，考查线面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．