某消费品专卖店的经营资料显示如下:①这种消费品的进价为每件14元,②该店月销售量Q满足的函数关系式为Q=$\left\{\begin{array}{l}{k 1}P+{b 1}.14≤P≤20\\{k 2}P+{b 2}.20＜P≤26\end{array}$.点在函数的图象上,③每月需各种开支4400元．与销售价格P(元)的函数关系,(2)当商品的价格为每� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．

某消费品专卖店的经营资料显示如下：
①这种消费品的进价为每件14元；
②该店月销售量Q（百件）与销售价格P（元）满足的函数关系式为Q=$\left\{\begin{array}{l}{k_1}P+{b_1}，14≤P≤20\\{k_2}P+{b_2}，20＜P≤26\end{array}$，点（14，22），（20，10），（26，1）在函数的图象上；
③每月需各种开支4400元．
（1）求月销量Q（百件）与销售价格P（元）的函数关系；
（2）当商品的价格为每件多少元时，月利润最大？并求出最大值．

分析（1）利用带待定系数法即可求出函数的解析式，再根据销售量Q（百件）与销售价格P（元）满足的函数关系式，即可月销量Q（百件）与销售价格P（元）的函数关系，
（2）设该店月利润为L元，则由题设得L=Q（P-14）×100-100，得到函数的解析式，分段求出函数的最值，比较即可．

解答解：（1）∵点（14，22），（20，10），（26，1）在函数的图象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{14{k}_{1}+{b}_{1}=22}\\{20{k}_{1}+{b}_{1}=10}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-2}\\{{b}_{1}=50}\end{array}\right.$．
同理可得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-\frac{3}{2}}\\{{b}_{2}=40}\end{array}\right.$，
∴Q=$\left\{\begin{array}{l}{-2P+50，14≤P≤20}\\{-\frac{3}{2}P+40，20＜P≤26}\end{array}\right.$，
（2）设该店月利润为L元，则由题设得L=Q（P-14）×100-100，
由（1）得L=$\left\{\begin{array}{l}{（-2p+50）（P-14）×100-4400，14≤P≤20}\\{（-\frac{3}{2}P+40）（P-14）×100-4400，20＜P≤26}\end{array}\right.$，
=$\left\{\begin{array}{l}{-200{P}^{2}+7800P-74400，14≤P≤20}\\{-150{P}^{2}+6100P-10000，20＜P≤26}\end{array}\right.$，
当14≤p≤20时，Lmax=1650元，此时P=$\frac{39}{2}$元，
当20＜p≤26时，Lmax=$\frac{4850}{3}$元，此时P=$\frac{61}{3}$元，
故当P=$\frac{39}{2}$时，月利润最大，为1650元．

点评本题主要考查与函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用二次函数的图象和性质是即可得到结论．