Question

1．已知x，y 满足$\left\{\begin{array}{l}{y≥x}\\{x+y≤2}\\{x≥a}\end{array}\right.$，若z=3x+y 的最大值为M，最小值为m，且M+m=0，则实数a 的值为-1．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标代入目标函数求出最大值和最小值，代入M=4m求得实数a的值

解答 解：解：由 x，y 满足$\left\{\begin{array}{l}{y≥x}\\{x+y≤2}\\{x≥a}\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立 $\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{x=y}\end{array}\right.$，解得：A（a，a），
联立 $\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{x+y=2}\end{array}\right.$，解得：B（1，1），
化目标函数为直线方程斜截式y=-3x+z，
由图可知，当直线过A（a，a）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为m=4a，
当直线过B（1，1）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为M=4，
由M+m=0，得a+4=0，即a=-1．
故答案为：-1

点评 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．