Question

2．如图，已知△OCB中，A是BC边的中点，D是OB边上靠近点B的三等分点，DC与OA相交于点E，DE：DC=2：5，设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$
（1）用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示向量$\overrightarrow{OC}，\overrightarrow{DC}$；
（2）若$\overrightarrow{OE}=λ\overrightarrow{OA}$，求实数λ的值．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形法则求出$\overrightarrow{OA}$，再利用向量加减运算的三角形法则求出$\overrightarrow{OC}，\overrightarrow{DC}$；
（2）根据$\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DE}$，用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$表示出$\overrightarrow{OE}$即可得出λ的值．

解答 解：（1）∵A为BC的中点，
∴$\overrightarrow{OA}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$），
∴$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，
∵D为OB的三等分点，∴$\overrightarrow{OD}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$=2$\overrightarrow{a}$-$\frac{5}{3}$$\overrightarrow{b}$．
（2）∵DE：DC=2：5，
∴$\overrightarrow{DE}$=$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{DC}$=$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{OE}$=$\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$+$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$=$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{a}$．
∴λ=$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了平面向量的线性运算，结合图形，根据三角形或平行四边形法则得出，属于中档题．