Question

8．依次连接正六边形各边的中点，得到一个小正六边形，再依次连接这个小正六边形各边的中点，得到一个更小的正六边形，往原正六边形内随机洒一粒种子，则种子落在最小的正六边形内的概率为（　　）

• A． $\frac{3}{4}$
• B． $\frac{9}{16}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 求出最小的正六边形A₁B₁C₁D₁E₁F₁的边长，可得其面积，计算正六边形ABCDEF的面积，即可求出种子落在最小的正六边形内的概率．

解答 解：如图，原正六边形为ABCDEF，最小的正六边形为A₁B₁C₁D₁E₁F₁，
设AB=a，由已知得，∠AOB=60°，则∠AOM=$\frac{1}{2}$，∠AOB=30°，
∴OM=OAcos∠AOM=acos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
即中间正六边形的边长OM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，以此类推，最小的正六边形A₁B₁C₁D₁E₁F₁的边长等于$O{B_1}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}OM=\frac{{\sqrt{3}}}{2}•\frac{{\sqrt{3}a}}{2}=\frac{3a}{4}$，
所以由几何概型得，种子落在最小的正六边形内的概率为$P=\frac{{{S_{正六边形{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}{E_1}{F_1}}}}}{{{S_{正六边形ABCDEF}}}}=\frac{{\frac{1}{2}•\frac{3a}{4}•\frac{3a}{4}•\frac{{\sqrt{3}}}{2}•6}}{{\frac{1}{2}•a•a•\frac{{\sqrt{3}}}{2}•6}}=\frac{9}{16}$，
故选：B．

点评 本题考查几何概型，考查概率的计算，正确求面积是关键．