Question

17．已知函数y=f（x）（x∈R）导函数为f′（x），f（1）=1，且f′（x）＞$\frac{1}{2}$，则不等式2f（x）＜x+1的解集为（　　）

• A． {x|x＜1}
• B． {x|x＜-1}
• C． {x|-1＜x＜1}
• D． {x|x＜-1或x＞1}

Answer 1

分析 构造函数g（x）=2f（x）-x-1，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可得到结论．

解答 解：构造函数g（x）=2f（x）-x-1，
则函数的导数为g′（x）=2f′（x）-1，
∵f′（x）＞$\frac{1}{2}$，
∴g′（x）＞0，
即函数g（x）是增函数，
∵f（1）=1，
∴g（1）=2f（1）-1-1=0，
即当x＜1时，g（x）＜g（1）=0，
即不等式2f（x）＜x+1解集为{x|x＜1}，
故选：A．

点评 本题主要考查不等式的求解，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．