Question

17．若sinθ+cosθ=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，θ∈[0，π]，则tanθ=-2．

Answer 1

分析 由题意可得 sinθcosθ=-$\frac{2}{5}$，结合θ范围确定tanθ＜-1，再根据sinθcosθ=$\frac{sinθcosθ}{{sin}^{2}θ{+cos}^{2}θ}$=$\frac{tanθ}{{tan}^{2}θ+1}$=-$\frac{2}{5}$，求得tanθ的值．

解答 解：∵sinθ+cosθ=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，∴1+2sinxcosx=$\frac{1}{5}$，sinθcosθ=-$\frac{2}{5}$．
∵θ∈[0，π]，∴θ∈（$\frac{π}{2}$，π ），∴sinθ＞0，cosθ＜0，且|sinθ|＞|cosθ|，∴tanθ＜-1．
∵sinθcosθ=$\frac{sinθcosθ}{{sin}^{2}θ{+cos}^{2}θ}$=$\frac{tanθ}{{tan}^{2}θ+1}$=-$\frac{2}{5}$，求得tanθ=-2 或tanθ=-$\frac{1}{2}$（舍去），
故答案为：-2．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，判断tanθ＜-1，是解题的关键，属于基础题．