Question

11．已知集合P={x|1≤x≤6，x∈N}，对它的非空子集A，将A中每个元素k，都乘以（-1）^k再求和（如A={1，3，6}，可求得和为（-1）•1+（-1）³•3+（-1）⁶•6=2，则对M的所有非空子集，这些和的总和是96．

Answer 1

分析 根据题意，将M中所有非空子集分类考虑完备，将所有非空子集中的含有1的总个数确定好，从而可求其和，同理求得含有2、3…，6的部分的和，问题即可解决．

解答 解：∵M={x|1≤x≤6，x∈N}={1，2，…，6}，
∴M中所有非空子集中含有1的有6类：
①单元素集合只有{1}含有1，即1出现了C₅⁰次；
②双元素集合有1的有{1，2}，{1，3}，…{1，6}，即1出现了C₅¹次；
③三元素集合中含有1的有{1，2，3}，{1，2，4}，…{1，5，16}即1出现了C₅²次；
…
⑩含有6个元素{1，2，…}1出现了C₅⁵次；
∴1共出现C₅⁰+C₅¹+…+C₅⁵=2⁵；
同理2，3，4，…6各出现2⁵次，
∴M的所有非空子集中，这些和的总和是 2⁵•[（-1）¹+2×（-1）²+…+6×（-1）⁶]=2⁵×3=96．
故答案为：96．

点评 本题考查数列求和，难点在于将M中所有非空子集合理分类计算，用组合数性质解决，考查学生综合分析与推理的能力，属于难题．