Question

10．函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件：①对任意x∈R，有f（x）＞0；②对任意x，y∈R，有f（xy）=[f（x）]^y；③$f（\frac{1}{3}）＞1$．
（1）求证：f（x）在R上是单调增函数；
（2）若f（4^x+a•2^x+1-a²+2）≥1对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法求f（1），然后根据指数函数的性质确定函数的单调性．
（2）利用函数的单调性将不等式转化为4^x+a•2^x+1-a²+2≥0任意x∈R恒成立，然后利用指数不等式的性质求a的取值范围．

解答 解：（1）证明：令x=$\frac{1}{3}$，y=3得f（1）=[f（$\frac{1}{3}$）]³，∵$f（\frac{1}{3}）＞1$．∴所以f（1）＞1．
令x=1，则f（xy）=f（y）=[f（1）]^y，
即f（x）=[f（1）]^x，为底数大于1的指数函数，
所以函数f（x）在R上单调递增．
（2）f（xy）=[f（x）]^y中令x=0，y=2有f（0）=[f（0）]²，对任意x∈R，有f（x）＞0，
故f（0）=1，
f（4^x+a•2^x+1-a²+2）≥1即f（4^x+a•2^x+1-a²+2）≥f（0），
由（1）有f（x）在R上是单调增函数，即：4^x+a•2^x+1-a²+2≥0任意x∈R恒成立
令2^x=t，t＞0则t²+2at-a²+2≥0在（0，+∞）上恒成立．
 i）△≤0即4a²-4（2-a²）≤0得-1≤a≤1；
 ii）$\left\{\begin{array}{l}△＞0\\-a＜0\\-{a^2}+2≥0\end{array}\right.$得$1＜a≤\sqrt{2}$．
综上可知$-1≤a≤\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查抽象函数的应用和性质，利用赋值法是解决抽象函数的基本方法，综合性较强，属于中档题．