Question

椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F₁，F₂，离心率为，过F₁且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.

(1)求椭圆C的方程；

(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，❶连接PF₁，PF₂，设∠F₁PF₂的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；

(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点．❷设直线PF₁，PF₂的斜率分别为k₁，k₂，若k≠0，试证明＋为定值，❸并求出这个定值．

Answer 1

解　(1)椭圆C的方程为＋y²＝1(过程略)．

(2)m的取值范围是 (过程略)．

(3)设P(x₀，y₀)(y₀≠0)，则直线l的方程为y－y₀＝k(x－x₀)．

联立整理得

(1＋4k²)x²＋8(ky₀－k²x₀)x＋4(y－2kx₀y₀＋k²x－1)＝0.

由题意，得Δ＝0，即(4－x)k²＋2x₀y₀k＋1－y＝0.

又＋y＝1，所以16yk²＋8x₀y₀k＋x＝0，

即(4y₀k＋x₀)²＝0.故k＝－.

由椭圆C可得F₁(－，0)，F₂(，0)，又P(x₀，y₀)，所以＋＝＝，

所以＋＝·＝－8.

因此＋为定值，这个定值为－8.