Question

2．已知函数f（x）=（2x+b）e^x，F（x）=bx-lnx，b∈R．
（1）若b＜0，且存在区间M，使f（x）和F（x）在区间M上具有相同的单调性，求b的取值范围；
（2）若F（x+1）＞b对任意x∈（0，+∞）恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x）的导函数，由导函数的符号求得函数的单调区间，再求出函数F（x）的导函数，由b＜0，可得F′（x）＜0，则F（x）在定义域（0，+∞）上为减函数，要使存在区间M，使f（x）和F（x）在区间M上具有相同的单调性，需$-\frac{b}{2}-1$＞0，求解可得b的范围；
（2）由F（x+1）＞b对任意x∈（0，+∞）恒成立，可得bx-ln（x+1）＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，令g（x）=bx-ln（x+1），求导可得b≤0时，g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上为减函数，而g（0）=0，不合题意；0＜b＜1时，$g（x）_{min}=g（\frac{1-b}{b}）$=1-b+lnb＞0，得b∈∅；b≥1时，g（x）在（0，+∞）上为增函数，g（x）＞g（0）=0成立，从而可得b的取值范围．

解答 解：（1）f（x）=（2x+b）e^x，f′（x）=（2x+b+2）e^x，
∴当x∈（-∞，-$\frac{b}{2}-1$）时，f′（x）＜0，当x∈（-$\frac{b}{2}-1$，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）的减区间为（-∞，-$\frac{b}{2}-1$），增区间为（-$\frac{b}{2}-1$，+∞）．
F（x）的定义域为（0，+∞），且F′（x）=b-$\frac{1}{x}=\frac{bx-1}{x}$．
∵b＜0，∴F′（x）＜0，则F（x）在定义域（0，+∞）上为减函数，
要使存在区间M，使f（x）和F（x）在区间M上具有相同的单调性，
则$-\frac{b}{2}-1$＞0，即b＜-2．
∴b的取值范围是（-∞，-2）；
（2）F（x+1）=b（x+1）-ln（x+1）．
要使F（x+1）＞b对任意x∈（0，+∞）恒成立，即bx-ln（x+1）＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，
令g（x）=bx-ln（x+1），则g′（x）=b-$\frac{1}{x+1}=\frac{bx+b-1}{x+1}$（x＞0）．
若b≤0，则g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上为减函数，而g（0）=0，不合题意；
若0＜b＜1，则当x∈（0，$\frac{1-b}{b}$）时，g′（x）＜0，当x∈（$\frac{1-b}{b}$，+∞）时，g′（x）＞0，
∴$g（x）_{min}=g（\frac{1-b}{b}）$=1-b+lnb＞0，得b∈∅；
若b≥1，则$\frac{1-b}{b}≤0$，g′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，
g（x）在（0，+∞）上为增函数，g（x）＞g（0）=0．
综上，b的取值范围是[1，+∞）．

点评 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数、导数、不等式等基础知识，以及综合运用上述知识分析问题和解决问题的能力，属难题．