Question

19．在边长为2的正方形ABCD中，动点M和N分别在边BC和CD上，且$\overrightarrow{BM}$=$λ\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{DN}$=$\frac{1}{4λ+1}$$\overrightarrow{DC}$，则$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BN}$的最小值为-1．

Answer 1

分析 建立平面直角坐标系，求出$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BN}$关于λ的函数，利用基本不等式得出最小值．

解答 解：以CB，CD为坐标轴建立平面直角坐标系如图：
则A（2，2），B（2，0），M（2-2λ，0），N（0，2-$\frac{2}{4λ+1}$）．
∴$\overrightarrow{AM}$=（-2λ，-2），$\overrightarrow{BN}$=（-2，$\frac{8λ}{4λ+1}$）．
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BN}$=4λ-$\frac{16λ}{4λ+1}$=4λ+1+$\frac{4}{4λ+1}$-5$≥2\sqrt{4}$-5=-1．
当且仅当4λ+1=$\frac{4}{4λ+1}$即λ=$\frac{1}{4}$时取等号．
故答案为：-1．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，建立平面直角坐标系可简化计算．