Question

已知定义域为R的函数f（x）=a+

2bx+3sinx+bxcosx

2+cosx

（a、b∈R）有最大值和最小值，且最大值与最小值的和为6，则3a+2b=

 

．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：根据条件可知b=0，然后根据三角函数的辅助角公式求函数的值域，再根据最大值与最小值之和为6求得a的值，从而求得3a-2b的值．

解答： 解：∵函数y=f（x）=a+

2bx+3sinx+bxcosx

2+cosx

=a+bx+

3sinx

2+cosx

 有最大值和最小值，
∴必有b=0，y=f（x）=a+

3sinx

2+cosx

，即y-a=

3sinx

2+cosx

．
∴3sinx+（a-y）cosx=2y-2a，∴

9+(a-y)2

sin（x+φ）=2y-2a．
再根据|sin（x+φ）|=|

2y-2a

9+(a-y)2

|≤1，
可得（y-a）²≤3，故有a-

3

≤y≤a+

3

．
再根据最大值与最小值之和为6，可得2a=6，即a=3，故有 3a-2b=9-0=9，
故答案为：9．

点评：本题考查了函数的值域的求法，利用条件确定b=0是解决本题的关键，利用辅助角公式将三角函数化简，利用三角函数的有界性也是解决本题的关键，属于中档题．