题目内容
18．已知$|{\overrightarrow a}|=1，|{\overrightarrow b}|=\sqrt{2}$．（1）$\sqrt{2}$$\overrightarrow a=\overrightarrow b$，求$\overrightarrow a•\overrightarrow b$
（2）若$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为60°，求$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}$|；
（3）若$\overrightarrow a-\overrightarrow b$与$\overrightarrow a$垂直，求$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角．
分析 （1）由已知可得$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$且方向相同，然后直接由数量积公式求值；
（2）由已知求出$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^{2}$，开方得答案；
（3）$\overrightarrow a-\overrightarrow b$与$\overrightarrow a$垂直，可得${\overrightarrow{a}}^{2}=\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=1$，再由数量积求夹角公式求得$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角．
解答 解：（1）∵$\sqrt{2}$$\overrightarrow a=\overrightarrow b$，∴$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$且方向相同，因此$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|•cos0=\sqrt{2}$；
（2）∵$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为60°，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=1×\sqrt{2}×cos60°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}=1+\sqrt{2}+2$=$3+\sqrt{2}$，因此$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{3+\sqrt{2}}$；
（3）∵$\overrightarrow a-\overrightarrow b$与$\overrightarrow a$垂直，∴$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}=0$，整理得${\overrightarrow{a}}^{2}=\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=1$，
令$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，因此cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}=\frac{1}{1•\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角$θ=\frac{π}{4}$．
点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查数量积求向量的夹角，是中档题．
| A． | （2，+∞） | B． | （-∞，0） | C． | （4，+∞） | D． | （-∞，-2） |
| A． | $\frac{9}{5}$ | B． | 1 | C． | $-\frac{3}{5}$ | D． | 0 |
如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．| A． | $\frac{5}{2}（{2}^{n}-1）$ | B． | $\frac{5}{18}（{3}^{n}-1）$ | C． | $5•{2}^{n-1}-\frac{5}{4}$ | D． | $5•{2}^{n-2}-\frac{5}{4}$ |