Question

20．如图，过点P作圆的切线PC，切点为C，过点P的直线与圆交于点A、B，$PA=2\sqrt{2}$．
（1）若$AB=2\sqrt{2}，∠ACB=∠APC$，求AC的长；
（2）若圆的半径为2，PC=4，求圆心到直线PB的距离．

Answer 1

分析 （1）由弦切角定理，∠ABC=∠APC，可知△ACB∽△APC，根据三角形相似性质可知$\frac{PA}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，代入即可求得AC的长；
（2）设圆心到直线PB的距离为d，AB=2$\sqrt{4-{d}^{2}}$，根据切割定理可知PC²=PA•PB，代入即可求得d的值．

解答 解：（1）∵PC与圆相切，切点为C，
BC⊥PC，
由弦切角定理，∠ABC=∠ACP，
又∵由BC为圆的直径，
∠BAC=90°，
∴∠ACB=∠APC，
∴△ACB∽△APC，
$\frac{PA}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，即AC²=PA•AB=8，
∴AC=2$\sqrt{2}$；
（2）设圆心到直线PB的距离为d，
∴AB=2$\sqrt{4-{d}^{2}}$，
由切割定理可得：PC²=PA•PB，
即16=2$\sqrt{2}$（2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{4-{d}^{2}}$），
解得：d=$\sqrt{2}$，
圆心到直线PB的距离$\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线与圆的关系，考查弦切角定理，切割定理的应用及三角形相似的性质，考查数形结合思想，属于中档题．