Question

3．已知函数f（x）=2sinxcos（x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值及最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调递减区间．
（Ⅱ）利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最值．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=2sinxcos（x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2sinx•（$\frac{1}{2}$cosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sinxcosx-$\sqrt{3}$sin²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin2x-$\sqrt{3}$•$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤x≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{12}$，可得函数的减区间为[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]，k∈Z．
（Ⅱ）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
故当2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最大值为1；当2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{4π}{3}$时，函数f（x）取得最小值为-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．