已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;\;\;\;$.其离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$.点F是其一个焦点.P 为椭圆上一点.|PF|的最小值为$\sqrt{3}-1$.直线l:y=m(x-1)．(1)求椭圆的标准方程(2)证明:直线l与椭圆C总有两个不同的交点,(3)设直线l与椭圆C交于A.B两点.是否存在实数m.使得以线� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;\;\;\;（a＞b＞0）$，其离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，点F是其一个焦点，P 为椭圆上一点，|PF|的最小值为$\sqrt{3}-1$，直线l：y=m（x-1）．
（1）求椭圆的标准方程
（2）证明：直线l与椭圆C总有两个不同的交点；
（3）设直线l与椭圆C交于A、B两点，是否存在实数m，使得以线段AB为直径的圆过坐标原点？若存在，求实数m的值，若不存在，请说明理由．

分析（1）由椭圆的离心率公式，求得a=$\sqrt{3}$c，a-c=$\sqrt{3}-1$，即可求得a和c的值，则b²=a²-c²=2，即可求得椭圆的标准方程；
（2）将直线方程代入椭圆方程，由△＞0，则直线l与椭圆C总有两个不同的交点；
（3）由韦达定理及向量数量积的坐标运算，解得：m²=-6，故不存在这样的实数，使得以线段AB为直径的圆过坐标原点．

解答解：（1）由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，则a=$\sqrt{3}$c，
由|PF|的最小值为$\sqrt{3}-1$，即a-c=$\sqrt{3}-1$，解得a=$\sqrt{3}$，c=1，
b²=a²-c²=2，
∴椭圆的标准方程：$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$；（4分）
（2）证明：由$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1}\\{mx-y-m=0}\end{array}}\right.$，消去y，整理得（3m²+2）x²-6m²x+3m²-6=0
∵△=（-6m²）²-4（3m²+2）（3m²-6）=48m²+48＞0，
∴对于m∈R，直线l与椭圆C总有两个不同的交点；（6分）
（3）设A、B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
由（2）可知：${x_1}+{x_2}=\frac{{6{m^2}}}{{3{m^2}+2}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{{3{m^2}-6}}{{3{m^2}+2}}$，y₁y₂=m（x₁-1）•m（x₂-1）
=m²（x₁x₂-（x₁+x₂）+1）=$\frac{-4{m}^{2}}{3{m}^{2}+2}$，
假设存在实数m，则$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，则x₁x₂+y₁y₂=0，
可得m²=-6，所以不存在．（12分）

点评本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理及向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．

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20．把函数y=$\frac{1}{2}$sin2x的图象经过________变化，可以得到函数y=$\frac{1}{4}$sinx的图象．（　　）

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	B．	横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的2倍
	C．	横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$倍，纵坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$倍
	D．	横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$

7．设tan（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{4}$，则tan（α+$\frac{π}{4}$）=（　　）

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