题目内容
如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两夹角为60°．（1）求AC1的长；
（2）求BD1与AC夹角的余弦值．
分析：（1）设
=
，
=
，
=
，则两两夹角为60°，且模均为1．根据向量加法的平行四边形法则，我们易得
=
+
=
+
+
．我们易根据向量数量积的运算法则，求出|
|的模，即AC1的长；
（2）我们求出向量
，
，然后代入向量夹角公式，即可求出BD1与AC夹角的余弦值．
| AB |
| a |
| AD |
| b |
| AA1 |
| c |
| AC1 |
| AC |
| CC1 |
| a |
| b |
| c |
| AC1 |
（2）我们求出向量
| BD1 |
| AC |
解答：解：设
=
，
=
，
=
，则两两夹角为60°，且模均为1．
（1）
=
+
=
+
+
=
+
+
．
∴|
|2=（
+
+
）2=|
|2+|
|2+|
|2+2
•
+2
•
+2
•
=3+6×1×1×
=6，
∴|
|=
，即AC1的长为
．
（2）
=
+
=
-
+
=
-
+
．
∴
•
=（
-
+
）•（
+
）
=
•
-
2+
•
+
2-
•
+
•
=1．
|
|=
=
，|
|=
=
，
∴cos＜
，
＞=
=
=
．
∴BD1与AC夹角的余弦值为
．
| AB |
| a |
| AD |
| b |
| AA1 |
| c |
（1）
| AC1 |
| AC |
| CC1 |
| AB |
| AD |
| AA1 |
| a |
| b |
| c |
∴|
| AC1 |
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| b |
| c |
| a |
| c |
=3+6×1×1×
| 1 |
| 2 |
∴|
| AC1 |
| 6 |
| 6 |
（2）
| BD1 |
| BD |
| DD1 |
| AD |
| AB |
| AA1 |
| b |
| a |
| c |
∴
| BD1 |
| AC |
| b |
| a |
| c |
| a |
| b |
=
| a |
| b |
| a |
| a |
| c |
| b |
| a |
| b |
| b |
| c |
=1．
|
| BD1 |
(
|
| 2 |
| AC |
(
|
| 3 |
∴cos＜
| BD1 |
| AC |
| ||||
|
|
| 1 | ||||
|
| ||
| 6 |
∴BD1与AC夹角的余弦值为
| ||
| 6 |
点评：本题考查的知识点是空间两点之间的距离运算，用空间向量求直线间的夹角，根据已知条件，构造向量，将空间两点之间的距离转化为向量模的运算，将异面直线的夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．
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